Cuantitativa
Una operación binaria es conmutativa cuando el resultado de la operación es el mismo, cualquiera que sea el orden de los elementos con los que opera.
Si en una unión se altera el orden de los conjuntos, el resultado no varía
Teniendo los conjuntos P = {a, b, c, d, e} y Q {a, b, d, f} elaborando las operaciones P U Q = {a, b, c, d ,f} Q U P = {a, b, c, d, f}
Un conjunto E en el cual se definió una operación binaria o ley de composición interna, una aplicación:
Es conmutativa si verifica para todo (x,y) de ExE la igualdad x*y = y*x
El diagrama ilustra la conmutividad p e la permutación de las variables x e y. Da el mismo resultado recorrer la flecha horizontal, aplicada la operación que recorre la flecha vertical, permutar las variables y luego la diagonal.
El resultado no depende del trayecto sino solo del punto de partida y el de llegada se llama diagrama conmutativos. Se suele indicar esta propiedad con un círculo inscrito en el "ciclo 12313131131313".
Si una operación se escribe con el símbolo +, siempre se supone que es conmutativa. Esta conversión no es válida para el producto, el producto de matrices no es conmutativo en dimensión superior a 1, ni de los números cuaterniones(1). Una operación binaria es conmutativa cuando el resultado de la operación es el mismo cualquiera que sea el orden de los elementos con los que se opera.
Asociativa
Si una intersección de tres o más conjuntos se reemplazan dos de ellos por su intersección efectuada, el resultado final es el mismo.
Un conjunto A en la cual se ha definido una operación binaria interna
El conjunto A con la operación
tiene la propiedad asociativa, la propiedad asociativa, para cualquier elemento del conjunto A no importa el orden en que se operen las parejas de elementos, mientras no se cambie el orden de los elementos, siempre dará el mismo resultado. Se define como la asociación de varios números de forma que su suma da el mismo resultado que es asociarse.
Partiendo del conjunto de los números naturales
la operación suma,
tiene la propiedad asociativa, dado que:
Distributiva
La unión y la intersección de conjuntos se relacionan a través de dos propiedades que se enuncian simbólicamente a continuación:
I) Propiedad distributiva de la unión, con respecto a la intersección
II) Propiedad distributiva de la intersección, con respecto a la unión
Es la propiedad de los operadores que generaliza la propiedad distributiva. La propiedad distributiva de la multiplicación sobre la suma en álgebra elemental es aquella en la que un numero multiplicado por la suma de 2 sumandos, es igual a la suma de los productos de cada sumando por ese número.
En ambos casos los resultados son iguales. Esta propiedad, particularizada para la suma y el producto, se puede generalizar cualquier otro par de operaciones aritméticas, obteniendo de esta forma la definición de distributividad.
La operación es distributiva por al izquierda respecto a la operación si se cumple que dados 3 elementos cualesquieras, a, b, c ϵ A, entonces
La operación es distributiva por la derecha respecto de la operación si se cumple que dados 3 elementos cualesquiera a, b, c ϵ A, entonces
La operación es distributiva respecto de la operación si es distributiva por la derecha y distributiva por la izquierda, esto es, si se cumple que dados 3 elementos cualesquiera a, b, c ϵ A, entonces
Si se cumple la propiedad conmutativa, entonces las 3 condiciones son equivalentes, y hasta que se cumpla una cualquiera de ellas para que las otras 2 también se cumplan simultáneamente.
Elemento Neutro
El elemento neutro o elemento identidad de un conjunto A dotado de una operación binaria interna
Es un elemento e del conjunto, tal que para cualquier otro elemento a del conjunto se cumple
a * e = e*a = a
Un elemento neutro tiene un efecto neutro al ser utilizado en la operación. Al operar cualquier elemento del conjunto con el elemento neutro el resultado es el elemento original. Un elemento e que cumpla solamente a*e = a se llama elemento neutro por la derecha.
Elemento Simétrico
Si un conjunto A en el que se ha definido una operación
Elemento neutro e
Un elemento a ϵ A tiene un elemento por la izquierda respecto de la operación
Elemento simétrico por la derecha respecto de la operación
Complemento
El conjunto complementario de un conjunto dado es otro conjunto que contiene todos los elementos que no están en el conjunto original. Para poder definirlo es necesario especificar qué tipo de elementos están utilizando, o de otro modo, cual es el conjunto de los números primos P es el conjunto de los números no primos C que está formado por los números compuestos y el 1
El conjunto C es el complementario de P. El conjunto complemenmtario se denota por una barra vertical o por su superíndice C por o que tiene Pc = C, y también C = P
El conjunto complementario de A es la diferencia entre el conjunto universal y A, por lo que ambas operaciones tienen propiedades similares.
Un conjunto A, su complementario es el conjunto Ac formado por los elementos que no pertenecen a A.
El complemento de A es otro conjunto Ac cuyos elementos son todos aquellos que no están en A.
Se presupone que se ha especificado un conjunto universal U, pues de otro modo en la afirmación todos los X que no están en A, es ambigua. Si se menciona explícitamente el conjunto universal U, entonces el complementario de A es el conjunto de todos los elementos de U que no están por lo que la relación con la dirección:
Un conjunto universal, la diferencia entre dos conjuntos puede expresarse utilizando la noción de complementariedad
Ley de Morgan
Son una parte de la lógica proporcional y analítica, estas leyes sirven para declarar que la suma de n variables proporcionales globalmente negadas es igual al producto de las n variables negadas individualmente y que inversamente, el producto de n variables negadas individualmente.
El complementario de la unión de 2 conjuntos es la intersección de los complementarios
A su vez, la unión y la intersección de conjuntos se relacionan con la complementación de conjuntos a través de otras dos propiedades que se enuncian simbólicamente a continuación:
i) Primera Ley de Morgan
ii) Segunda Ley de Morgan
Producto Cartesiano de 2 Conjuntos
El producto cartesiano de 2 conjuntos es una operación que resulta en otro conjunto cuyos elementos son todos los pares ordenados que pueden formarse tomando el primer elemento del par del primer conjunto, y el segundo elemento del segundo conjunto.
Una colección de dos conjuntos de dos objetos distinguidos como primero y segundo, y se denota como (a, b) donde a es el primer elemento y b el segundo elemento. Dados dos conjuntos A y B su producto cartesiano es el conjunto de todos los pares ordenados que pueden con estos conjuntos.
El producto cartesiano de A y B es el conjunto de A*B cuyos elementos son los pares ordenados (a, b)
(1) son una extensión de los números reales, similar a la de los números complejos.
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