Familia de Conjuntos

CONJUNTO DE CONJUNTO O FAMILIA DE CONJUNTOS

Es una colección de objetos considerada como un objeto en sí. Los objetos de la colección pueden ser cualquier cosa: personas, números, colores, letras figuras, etc. Cada uno de los objetos en la colección es un elemento o miembro del conjunto.

Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que todos sus elementos poseen. Por ejemplo, para los números naturales, si se considera la propiedad der ser un número primo, el conjunto de los números primos es:

P = {2,3,5,7,11,13,…}

Un conjunto queda definido únicamente por sus miembros y por nada más. En particular, un conjunto puede escribirse como una lista de elementos, pero cambiar el orden de dicha lista o añadir elementos repetidos no define un conjunto nuevo.

S = {Lunes, Martes, Miércoles, Jueves, Viernes} = {Martes, Viernes, Jueves, Lunes Miércoles}

Al = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta} = {Amarillo, Naranja, Rojo, Verde, Violeta, Añil, Azul}

Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. El conjunto de los números naturales es infinito, pero el conjunto de los planetas en el Sistema Solar es infinito, además, con los con juntos pueden combinarse mediante operaciones, de manera similar a las operaciones con números. 

Los conjuntos son un concepto primitivo, en el sentido de que no es posible definirlos en términos de nociones más elementales, por lo que su estudio puede realizarse de manera informal, apelando a la intuición y a la lógica.

Un conjunto es una colección bien definida de objetos, entendiendo que dichos objetos puede ser cualquier cosa: números, personas, letras, otros conjuntos, etc.

A es el conjunto de los números naturales menores que 5

B es el conjunto de los colores verde, blanco y rojo

C es el conjunto de las letras a, e, i, o, u

Los conjuntos se denotan habitualmente por letras mayúsculas. Los objetos que componen el conjunto se llaman elementos o miembros. Se dice que pertenecen al conjunto y se denota mediante el símbolo ∈:n 1 a ∈ A y se lee entonces como «a esta en A», «a pertenece a A», «A contiene a a» y para la opción contraria se usa el símbolo ∉

Es habitual usar llaves para escribir los elementos de un conjunto, de modo que:

B = {verde, blanco, rojo}

C = {a, e, i, o, u}

Esta notación mediante llaves también se utiliza cuando los conjuntos se especifican de forma intensiva mediante una propiedad:

A = {Números naturales menor que 5}

D = {Palos de la baraja francesa}

Otra notación habitual para denotar por comprensión es:

A = {m; m es un numero natural, y 1 ≤ m ≤ 5}

D = {p; p es un palo de la baraja francesa}

A = {n²; n es un numero entero, y 1 ≤ m ≤ 10}

En matemáticas, una familia de conjuntos o una colección de conjuntos es un conjunto cuyos elementos son a su vez conjuntos. El nombre “familia” o “colección” se utiliza para enfatizar la naturaleza conjuntista de sus elementos y suele venir acompañado de una notación distinta.

Aplicaciones

Sean X e Y conjuntos. Una correspondencia entre X e Y es una terna (X, Y, G) donde G ⊆ X × Y. Al conjunto X se le llama conjunto inicial, al conjunto Y se le llama conjunto final y a G se le llama grafo o gráfica de la correspondencia. Si el par (x,y) ∈ G se dice que “x se corresponde con y”.  

A una correspondencia como la anterior se le suele  asignar letras f, g, h,..., representándose mediante  

f: X → Y,  o bien,   X Y

CONJUNTOS DISJUNTOS

Cuando dos conjuntos son completamente diferentes (no tiene ningún elemento en común) reciben el nombre de conjuntos disyuntos. 

Se dice que dos conjuntos son disjuntos si no tiene ningún elemento en común. Por ejemplo: {1, 2, 3} y {4, 5, 6} son conjuntos disjuntos.

Formalmente, dos conjuntos A y B son disjuntos si su intersección es el conjunto vacío, es decir, si

Esta definición se extiende a cualquier colección de conjunto. Los conjuntos de una tal colección son disjuntos por pares o mutuamente disjuntos si cualquier par de conjuntos distintos de ella son disjuntos.

Formalmente sea A un conjunto para cada / ϵ. La familia de conjuntos {A_i | i ∈ I} es disjunta por pares si para cada i, j ∈ I, con i ≠ j,

 La colección de conjunto { {1}, {2}, {3},... } es disjunta por pares. Si la colección {A_i} es disjunta por pares, su intersección es obviamente vacía:

La implicación inversa no es, sin embargo, cierta: la intersección de la colección {{1, 2}, {2, 3}, {3, 1}} es vacía, pero la colección no es disjunta por pares; no hay, de hecho, dos conjuntos disjuntos en ella.

Una partición de un conjunto X es una colección de subconjuntos no vacíos {A_i | i ∈ I} de X, disjuntos por pares, tales que

CONJUNTOS UNIVERSAL

Se denota con la letra U, contiene, comprende o dentro del cual están todos los demás conjuntos. Si consideramos U como el conjunto de todos los elementos químicos, entonces dentro de U existirán subconjuntos de elementos sólidos, líquidos, gaseosos, radioactivos, metales, etc.

Este conjunto depende del problema que se estudia, se denota con la letra U y algunas veces con la letra S.

Si solo queremos referirnos a los 5 primeros números naturales el conjunto queda:

U = { 1, 2, 3, 4, 5 }

            Forma alternativa para indicar conjuntos de gran importancia:

• Conjunto de números naturales (enteros mayores que cero) representados por la letra N donde

N = { 1, 2, 3, .... }

• Conjunto de números enteros positivos y negativos representados por la letra Z donde

Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ... }

• Conjunto de números racionales (números que se representan como el cociente de dos números enteros {fracciones}). Estos números se representan por una Q.  

• Conjunto de números irracionales (números que no puedan representarse como el cociente de dos números enteros) representados por la letra I.  

• Conjunto de los números reales que son los números racionales e irracionales es decir todos, representados por R.

        Todos estos conjuntos tienen un número infinito de elementos, la forma de simbolizarlos por extensión o por enumeración es de gran utilidad cuando los conjuntos a los que se hace referencia tienen pocos elementos para poder trabajar con ellos se emplean la notación llamada comprehensión.

Al denotar el conjunto de los números naturales menores que 60. Aquí U es el conjunto N y se tiene una propiedad que caracteriza a los elementos del conjunto: ser menores que 60.

            Para indicar esta situación empleamos la simbología del álgebra de conjuntos:

{ x/x Î N ; x<60 }

En esta expresión se maneja un conjunto de x que pertenece a los números naturales (N) y además que los valores de x son menores que 60.

            Ahora si se desea trabajar con conjuntos que manejen intervalos estos pueden ser representados por medio de una expresión algebraica; supongamos que se desea expresar los números enteros (Z) entre -20 y 30 el conjunto quedaría de la manera siguiente:

{ x/x Î Z ; -20 £ x £ 30 }

            También se puede expresar el valor de un conjunto indicando la pertenencia o no pertenencia a uno diferente, por ejemplo

L={ 1, 3, 4, 6, 9 }

P={ x/x Î N ; X Ï L }

En el conjunto P se indica que los elementos x de un conjunto pertenecen a los números naturales y además x no pertenece al conjunto L.

CONJUNTOS POTENCIA

Se llama conjunto de potencia o conjunto de partes de S la conjunto formado por todos los subconjuntos posibles de S.

En la teoría de conjuntos basada en los axiomas la existencia del conjunto potencia se establece por el axioma de conjunto potencia.

Si S = {a, b, c} entonces el conjunto potencia de S es P(S) = {{},{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c,}}.

El conjunto potencia de un conjunto S, junto con las operaciones de la unión, de la intersección y del complemento forman el ejemplo prototípico de algebra de Boole. De hecho, uno puede demostrar que cualquier algebra de Boole finita es  isomorfa al algebra booleana del conjunto de potencia de un conjunto finito. Para las algebras booleanas infinitas esto no es verdad, pero cada algebra booleana infinita es subalgebra de una algebra booleana de partes.

Cuando S es finito, si n = ǀSǀ es el número de elementos de S entonces su conjunto potencia contiene ǀP(S)ǀ = 2n elementos. En este caso también se puede establecer una biyección entre los elementos del conjunto potencia con números de n-bits: el n-ésimo bit se refiere a la presencia o ausencia del n-ésimo elemento de S. Hay 2n tales números. Este argumento prueba la identidad de coeficientes binomiales.

La cardialidad de un conjunto potencia siempre es mayor que la cardialidad del conjunto base, el argumento diagonal de Cantor demuestra la afirmación para conjuntos infinitos, mientras que el hecho de que en n ˂ 2n la prueba para conjuntos finitos. El conjunto potencia de los números naturales, se pude poner en correspondencia uno a uno con el conjunto de números reales. Usualmente se establece primero una biyeccion entre los números reales y el intervalo cerrado [0,1], para luego, usando la expansión diádica de los números reales, identificar cada elemento de [0,1] con la bisección infinita de ceros y unos dada por los coeficientes.

Un importante resultado sobre el conjunto potencia es el teorema de Cantor que establece que no existe biyección entre el conjunto potencia de un cierto conjunto y el propio conjunto, con respecto a su cardinalidad el conjunto potencia tiene más elementos que el propio conjunto. Si bien esto es trivial para conjuntos finitos, tiene importantes consecuencias para conjuntos infinitos. El teorema de Cantor por tanto permite construir una jerarquía infinita de tipos cardinales transfinitos cada uno estrictamente más grande.

Es el conjunto de todos los subconjuntos posibles de un conjunto dado.