La lógica proposicional o lógica de
orden cero trata con sistemas lógicos que carecen de cuentificadores o
variables interpretables con entidades. La lógica proposicional incluye además
de variables interpretables como proposiciones simples signos para conectivas
lógicas, por lo que dentro de este tipo de lógica puede analizarse la
inferencia lógica de proposiciones a partir de proposiciones, pero sin tener en
cuenta la estructura interna de las proposiciones más simples.
El
cálculo proposicional o lógica proposicional, es la ciencia que trata de los
principios válidos del razonamiento y la argumentación. El estudio de lógica es
el esfuerzo por determinar las condiciones que justifican a una persona para
pasar de una proposición dada, llamadas premisas, a una conclusión que se
deriva de aquéllas.
Sintaxis
Fija
dos elementos fundamentales: el alfabeto y la clase de fórmulas bien formadas. Alfabeto: es un conjunto finito o
numerable de símbolos que se está autorizado a usar. Los símbolos que no
aparecen en ese alfabeto no son admitidos ni utilizables.
Formulas: Son algunas listas de símbolos sobre
el alfabeto, que serán admitidas como bien formadas. El resto se descartan.
Habitualmente, las formulas bien formadas se definen mediante un proceso
recursivo.
Reglas Deductivas
Son
las reglas de transformación de fórmulas. En términos matemáticos, son las
reglas que permiten construir Demostraciones y, por tanto, permiten concluir
Teoremas.
PROPOSICIONES
Es
parecida a la oración pero carece de un elemento y se puede definir como la
unidad de lenguaje que tiene sujeto y predicado, verbo en modo personal, pero
cuyo sentido es incompleto. Esta unidad de lenguaje depende de otra con sentido
completo. También recibe el nombre de oración subordinada. He aquí tres ejemplos
de oraciones compuestas en las cuales las proposiciones las he puesto en letra
resaltada:
1. Los
sobrenombres que se adjudican tan desaprensivamente en el barrio del Pacífico,
son para todos nosotros motivo de cuidado…
2. Nos
parece que no se puede atribuir un apodo cualquiera a alguien que deberá
absorberlo…
3.
Como ejemplo del cuidado que tenemos en estas cosas bastará citar el caso de mi
tía la segunda…
Las
proposiciones forman parte de la forma más simple o elemental de la lógica, y
se puede enfocar en la lógica matemática. Esta lógica, no profundiza en los
conceptos de las proposiciones, solo se guía en lo ciertas o falsas que sean.
Se le ha denominado como “Lógica de las proposiciones sin analizar” y se puede
catalogar como una lógica superficial. Las proposiciones se pueden dividir en
dos tipos básicos:
Proposición simple
La proposición
simple, se da una afirmación con el resultado implícito
Proposición compuesta
La
proposición compuesta se da la proposición lleva las interjecciones o conexiones
(y- o) y de esta se pueden separar oraciones como:
a) El
lápiz es rojo o amarillo.
b)
Héctor es comerciante y Víctor es abogado.
Una
proposición debe tener la cualidad de ser verdadera o falsa y una oración o
concepto que no tiene uno u otro sentido no puede ser considerado como
proposición lógica; es así que la lógica proporcional en su concepto previo
solo puede tener tres elementos:
1.
Proposición
2.
Valor verdadero
3.
Valor falso
PROPOSICIÓN
Puede
ser considerado como proposición lógica cuando es susceptible de poder ser
verdadero o falso. Por ejemplo “Es de noche” puede ser Verdadero o Falso.
Aunque existen lógicas polivalentes, en orden a la claridad del concepto, aquí
consideramos únicamente el valor de Verdad o Falsedad.
Una
proposición o enunciado es una oración que puede ser falsa o verdadera pero no
ambas a la vez. La proposición es un elemento fundamental de la lógica
matemática.
p:
La tierra es plana.
q:
-17 + 38 = 21
r:
x > y-9
s:
El Morelia será campeón en la presente temporada de Futbol.
t:
Hola ¿cómo estás?
w:
Lava el coche por favor.
El término conectiva se refiere a
ciertas conjunciones lógicas que gobiernan las distintas fórmulas lógicas.
CONJUNCIÓN
La
conjunción es un operador que opera sobre dos valores de verdad, típicamente
los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad
verdadero cuando ambas proposiciones son verdaderas, y falso en cualquier otro
caso. Es decir es verdadera cuando ambas son verdaderas.
p = ”
El número 4 es par”
q =
”Siempre el residuo de los números pares es 2″
entonces…
p^q:
“El número 4 es par y Siempre el residuo de los números pares es 2″
p ^ q
(se lee: ” p y q”)
DISYUNCIÓN
La
disyunción es un operador que opera sobre dos valores de verdad, típicamente
los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad
verdadero cuando una de las proposiciones es verdadera, o cuando ambas lo son,
y falso cuando ambas son falsas.
p = ”
El número 2 es par”
entonces…
pvq:
“El número 2 es par o la suma de 2 + 2 es 4″
p v q
(se lee: ” p o q”)
CONDICIONAL
El
condicional material es un operador que opera sobre dos valores de verdad,
típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de
verdad falso sólo cuando la primera proposición es verdadera y la segunda
falsa, y verdadero en cualquier otro caso.
p: ”llueve”
q:
“hay nubes”
p→q:
“si llueve entonces hay nubes”
El
bicondicional o doble implicación es un operador que funciona sobre dos valores
de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo
el valor de verdad verdadero cuando ambas proposiciones tienen el mismo valor
de verdad, y falso cuando sus valores de verdad difieren.
p: ”10 es un número impar”
q: “6
es un número primo”
p↔q:
“10 es un número impar si y solo si 6 es un número primo”
COMPUERTAS NAND
La puerta NAND o compuerta NAND es
una puerta lógica digital que implementa la conjunción lógica negada -se
comporta de acuerdo a la tabla de verdad mostrada a la derecha. Cuando todas
sus entradas están en 1 (uno) o en ALTA, su salida está en 0 o en BAJA,
mientras que cuando una sola de sus entradas o ambas están en 0 o en BAJA, su
SALIDA va a estar en 1 o en ALTA.
Una compuerta NAND (NO Y) de dos
entradas, se puede implementar con la concatenación de una compuerta AND o
"Y" de dos entradas y una compuerta NOT o "No" o inversora.
La
compuerta NAND también hace la función de multiplicación, pero entrega el valor
negado. Esto es muy útil, dado que si estuviéramos usando una AND normal
tendríamos que usar otro chip con un NOT para negar el resultado.
COMPUERTAS NOR
La
puerta NOR o compuerta NOR es una puerta lógica digital que implementa la
disyunción lógica negada -se comporta de acuerdo a la tabla de verdad mostrada
a la derecha. Cuando todas sus entradas están en 0 (cero) o en BAJA, su salida
está en 1 o en ALTA, mientras que cuando una sola de sus entradas o ambas están
en 1 o en ALTA, su SALIDA va a estar en 0 o en BAJA.
Al
igual que en el caso de la compuerta lógica OR, ésta se puede encontrar en versiones
de 2, 3 o más entradas.
La
salida de una puerta OR, la expresión booleana en la entrada de un inversor es
A + B, el inversor complementa la salida de la puerta OR, lo que se indica
colocando una barra encima de la expresión booleana. Obteniéndose A+B = Y, esta
es una función NOT-OR. La función NOT-OR
puede representarse por un símbolo lógico llamado puerta NOR.
La
compuerta NOR realiza la función de suma, pero entrega el resultado invertido,
ahorrándonos un NOT. Su salida será 1 solo si las dos entradas son 0.
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